Esercizi di meccanica del punto:

Esercizio 1
Un'automobile che viaggia a 105 km/h sorpassa un'auto della polizia ferma. L'auto della polizia parte con accelerazione uniforme di 2.44 m/s². Quanta strada percorrera' l'automobilista prima di essere raggiunto dall'auto della polizia?

Esercizio 2
A un corpo di massa m in movimento con velocita' costante v0, viene applicata a partire dall'istante t=0 una forza F costante di verso opposto al moto del corpo, in modo da arrestarlo in un tempo τ. Si valuti l'intensita' della forza applicata e lo spazio percorso dal corpo a partire dall'istante t=0.

Esercizio 3

Un cannone spara un proiettile ad una velocità di 100 m/s da una torre alta 200 m; con che angolo rispetto all'orizzontale deve essere puntato per colpire un bersaglio posto ad una distanza di 500 m dalla base della torre stessa?

Esercizio 4
Un bambino su un balcone lascia cadere un sasso da altezza h. Allo stesso istante, un suo amico che sta esattamente sotto il balcone lancia verso l'alto una sfera con velocita' iniziale v0. Dopo quanto tempo avviene la collisione fra il sasso e la sfera? (Sotto quali condizioni avviene per aria e non al suolo?)

Esercizio 5
Una sfera metallica di massa m=50 g cade partendo da ferma da un'altezza h=20 m sopra uno strato di sabbia nel quale penetra per un tratto d=30 cm prima di fermarsi; assumendo che il moto della sferetta nella sabbia sia uniformemente ritardato, quanto vale il lavoro della forza frenante sulla sferetta? (Calcolarlo sia dalla definizione di lavoro che dal teorema dell'energia cinetica.)

Esercizio 6
Una corda dotata di elasticita' e' tirata dalle estremita' opposte da due persone, ognuna esercitante una forza di 500 N. Di quanto si allunga la corda se la sua costante elastica e' k=5x10⁴ N/m?
Se uno dei due molla di colpo la corda, che energia cinetica le sara' trasferita?

Esercizio 7
Una massa puntiforme M=0.25 Kg si muove con accelerazione angolare costante α su una traiettoria circolare di raggio R=2 m. La massa, che all'istante iniziale e' ferma, impiega 2 secondi a compiere il primo giro. Si calcolino:

1. il valore di α
2. il lavoro compiuto da tutte le forze agenti sulla massa dall'istante iniziale all'istante in cui la massa ha compiuto il primo giro
3. i valori delle componente tangente e centripeta della forza risultante all'istante t=2 s.

Esercizio 8
Una pallina e' attaccata a un filo di lunghezza L, la cui estremita' opposta e` legata a un gancio nel muro. Sotto il gancio, a una distanza d, si trova un piolo. La pallina viene lasciata cadere dalla posizione indicata in figura, e percorre i due archi di circonferenza tratteggiati. Qual e' la distanza minima d a cui si deve fissare il piolo se si vuole che la pallina si avvolga attorno ad esso? (Suggerimento: nel punto piu' alto del cerchio piccolo la pallina non puo' essere ferma, altrimenti cade).

Esercizio 9
Due palle sono lanciate verticalmente verso l'alto nello stesso istante. Supponendo che le due palle abbiano velocita` iniziali v1 = 20 m/s e v2 = 24 m/s, rispettivamente, trovare la distanza tra le due palle quando la prima palla ha raggiunto la sua quota massima.

Esercizio 10
Una pietra di 7.94 kg e` ferma sopra una molla che rimane compressa di 10.2 cm.

1. Si determini la costante elastica della molla.
2. La pietra viene spinta verso il basso di altri 28.6 cm e quindi lasciata andare. Quanta energia potenziale viene immagazzinata nella molla poco prima del rilascio della pietra?
3. Di quanto risale la pietra verso l'alto (rispetto alla nuova posizione piu` bassa)?

Esercizio 11
Un proiettile viene lanciato lungo la verticale ascendente dalla superficie di un pianeta di raggio R e massa M con velocità iniziale v0. Qual è il minimo valore di v0 per il quale il proiettile può sfuggire all'attrazione del pianeta? Se il proiettile parte con tale velocità calcolare il tempo necessario perchè raggiunga una distanza d dal centro del pianeta. Supponendo che il pianeta sia la Terra (R=6400 km), e che la velocità iniziale sia v0 = 8 km/s, si trovi la quota massima che raggiunge il proiettile trascurando la resistenza dell'aria.

Esercizio 12
Si trovi la velocità di fuga dalla superficie di Mercurio, la cui massa è M = 3.331 × 10²³ kg e il cui raggio è R = 2.44 × 10⁶ m.

Esercizio 13
In un'arma da fuoco automatica di vecchio modello a retrocarica il meccanismo di ricarica posto nel retro della canna e' messo in funzione quando il fermo, che rincula dopo che il proiettile e' sparato, comprime una molla di una quantita' limite d. Trovare la minima velocita' iniziale della pallottola per la carica automatica (in funzione della costante elastica della molla, di d, e delle masse del proiettile e del fermo). Puo' questo processo essere considerato come una collisione?

Esercizio 14
Calcolare la massa del Sole conoscendo solamente i seguenti dati: la costante di gravitazione universale G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2, il periodo di rivoluzione della Terra intorno al sole T = 365 giorni, il raggio dell'orbita della Terra supposta circolare r = 1.488 × 10¹¹ m.

Esercizio 15
Un'astronave si muove nello spazio interstellare, libera da qualunque forza esterna. All'istante t=0 entra in una nube di polveri. L'aumento di massa risultante segue una legge del tipo dM/dt=kv (dove k e' una semplice costante di proporzionalita'; vedasi compitino del 6/12/2004). Descrivere il moto dell'astronave, per tempi sufficientemente brevi da poter usare l'approssimazione (dM/dt)Δt<<M₀.

Esercizio 16
Come sopra, ma l'astronave anziche' essere libera da forze orbita nel campo gravitazionale terrestre. Se all'istante t=0 (quello dell'ingresso nella nube di polveri) l'astronave si trova a una distanza R dal centro della Terra con una velocita' tangenziale v, dopo quanto tempo si trova a distanza pari a 99/100 di R?

Esercizio 17
Quale deve essere la velocità di un corpo di massa m lanciato lungo la verticale verso la Luna, perchè si fermi nel punto in cui il campo gravitazionale dovuto alla Terra e quello dovuto alla Luna sono uguali in modulo e direzione, ma hanno verso opposto? (Distanza media Terra-Luna D = 3.84 × 10⁸ m.)

Esercizio 18
Una sfera di rame (densita' ρ= 8,9 g/cm³) galleggia sul mercurio (densita' ρ'= 13,6 g/cm³) restando immersa per 1/6 del volume. La sfera e' piena o contiene una cavita'? E, se siamo nel secondo caso, qual e' il volume della cavita'?

Esercizio 19
Un satellite artificiale di massa 1000 Kg descrive un'orbita circolare intorno alla terra. Calcolare, in funzione del raggio dell'orbita, la velocita',il periodo, l'energia meccanica, la forza gravitazionale. Fare il calcolo numerico nel caso di satellite geostazionario (ovvero con periodo di 24 ore).
Determinare il lavoro necessario per portare il satellite da un'orbita di raggio R1 a un'orbita di raggio R2 con R2>R1.
(Massa della Terra = 6x10²⁴ Kg e raggio della Terra 6.4x10⁶ m.)

Esercizio 20
Su un nastro trasportatore che si muove con velocita' costante v viene fatta cadere della sabbia da un imbuto (si assuma costante il tasso dM/dt con cui si accresce la massa della sabbia distribuita sul nastro). Che potenza eroga il motore che permette al nastro di mantenere costante la sua velocita'? (Suggerimento: per la potenza si usi la formula P=F.v.)

Esercizio 21
Un proiettile e' sparato da un cannone a un angolo di 60 gradi con l'orizzontale e con una velocita' all'imboccatura di 500 m/s. Lasciato il cannone, il proiettile esplode in due frammenti di egual massa. Un frammento cade verticalmente. A che distanza dal cannone atterra l'altro frammento, supponendo il cannone a livello di terra?

Esercizio 22
Una slitta di 5.44 kg trasporta 36.2 kg di sabbia e scivola da ferma lungo un pendio ghiacciato (di attrito trascurabile) lungo 91.44 m e inclinato di 30 gradi rispetto all'orizzontale. La slitta ha un foro sul pavimento e perde sabbia al ritmo costante di 2.27 kg/s. Quanto tempo impiega la slitta a raggiungere la fine della discesa?

Esercizio 23
Due lunghe chiatte navigano nella stessa direzione in acqua ferma, una con velocita' v1 e l'altra con velocita' v2>v1. Mentre si stanno sorpassando del carbone viene scaricato dalla piu' lenta alla piu' veloce al ritmo costante dM/dt. Quale potenza addizionale devono erogare i motori delle due chiatte se nessuna delle due deve cambiare velocita'? (Si supponga che lo scarico avvenga sempre trasversalmente. Si supponga anche che le forze di attrito tra le chiatte e l'acqua non dipendano dal peso delle chiatte.)

Esercizio 24
Una fune flessibile e inestensibile di lunghezza l viene infilata in un tubo liscio piegato ad angolo retto e disposto in maniera tale che un braccio sia verticale e l'altro orizzontale. Inizialmente, per t=0, nel braccio verticale pende un tratto di fune di lunghezza y₀. Se la fune e' lasciata libera e scivola lungo il tubo a causa del suo stesso peso, descriverne il moto.

Esercizio 25
Una zattera di massa M=1500 kg e sezione orizzontale costante S=4 m² galleggia sul mare.

1. Sapendo che la densità dell'acqua marina è ρ = 1.03 g/cm², calcolare l'altezza della parte immersa della zattera.
2. Se sulla zattera sale un uomo di massa 80 kg, di quanto si abbassa la zattera?
3. L'uomo si tuffa in acqua. Si calcoli il periodo delle oscillazioni verticali della zattera (trascurando l'attrito viscoso con l'acqua).

Esercizio 26
Una massa m e' attaccata a due molle, ciascuna di lunghezza a riposo L e di costante elastica K, che con gli estremi opposti sono vincolate nei punti (-L,0) e (+L,0) rispettivamente. Si supponga che possano solo dilatarsi o contrarsi, ma non piegarsi.

• Trovare la variazione di energia potenziale del sistema quando la massa viene spostata da (0,0) a (x,y).
• Calcolare il vettore F (in funzione di x e y) agente sulla massa.
• Determinare il valore della componente F_y lungo la retta definita da x=0. Scegliere attentamente il segno in modo da essere sicuri che la soluzione abbia senso.
• Trovare le posizioni di equilibrio di U(x,y).

Esercizio 27
Una meteorite, quando urta con la parte piu' esterna dell'atmosfera terrestre, decelera a causa dello scambio di quantita' di moto con le molecole dell'aria. Nell'atmosfera rarefatta delle altissime quote, il problema della decelerazione di una meteorite puo' essere trattato considerando i singoli urti con le molecole d'aria anziche' usando la fluidodinamica.

• Si ricavi un'espressione per la decelerazione della meteorite ad altissima quota in funzione della sua massa M, velocita' v, sezione efficace S (nota: quando diciamo che un oggetto ha area efficace S vuol dire che, muovendosi per un tratto Δx, colpisce un numero di molecole uguale al numero di molecole contenute nel volume SΔx); il risultato dipendera' anche dalla densita' atmosferica (la si supponga costante; cio' ovviamente e' falso, ma si discuta perche' tale approssimazione e' ragionevole a grandi distanze dalla superficie terrestre). La velocita' iniziale delle molecole e' trascurabile rispetto a v. Si suppongano urti elastici.
  Si otterra' un'espressione del tipo dv/dt=f(v). La si integri.
• L'esercizio suddetto sia svolto ora nell'ipotesi di urti completamente anelastici (urto anelastico: le molecole si attaccano alla meteorite). Per meteoriti macroscopiche l'incremento di massa sara' trascurabile, ma provare a risolvere sia trascurandolo (M costante) che tenendone conto in maniera esatta.
• E' certamente piu' importante il fenomeno dell'ablazione: l'urto con molecole d'aria ad alta velocita' relativa tra molecola e meteorite puo' causare distacco o vaporizzazione di materiale dalla meteorite. Si ricavi dal principio di conservazione dell'energia la rapidita' di perdita di massa in funzione della velocita', della massa e della densita' ρ_m della meteorite e della densita' ρ_a dell'aria. Sia ξ la quantita' di energia richiesta per sottrarre un grammo di materiale alla meteorite e Λ l'efficienza di scambio di energia tra molecole d'aria e meteorite; si trascuri in questo calcolo l'energia cinetica persa per decelerazione; si assuma per semplicita' S=(M/ρ_m)^2/3.

Esercizio 28
Una particella sottoposta a una forza centrale si muove su una traiettoria descritta dalla seguente equazione in coordinate polari aventi origine nel centro di forza:
θ=ln(r/a)
Si determini la dipendenza della forza dal raggio.

Esercizio 29
Una molla non ideale devia in generale dalla legge F=-kx. Assumiamo ad esempio una legge del tipo F=-kx+εkx², con ε (costante di anarmonicita') piccola in confronto all'ampiezza di oscillazione.
Si suggerisce, per risolvere l'equazione del moto, di provare combinazioni lineari di funzioni trigonometriche di argomento nωt, con n=1,2 ("prima armonica", "seconda armonica") e risolvere per trovare ω e tutte le costanti necessarie. (Nota: a seconda dell'entita' di ε o di altri termini anarmonici nella forza, nel mondo reale per avere una migliore approssimazione puo' essere necessario aggiungere anche le armoniche superiori n=3,4,...)

Esercizio 30
Generalmente, nello studio di un pendolo semplice si considera l'approssimazione di piccoli angoli, per cui sen θ ~ θ (espresso in radianti). Se non si fa uso di questa approssimazione il moto e' comunque periodico, ma non armonico.
Si sviluppi la funzione seno in serie di Taylor attorno a θ=0 e si tronchi lo sviluppo al primo termine non nullo successivo a θ. Come nell'esercizio precedente, si provi a risolvere l'equazione del moto facendo uso di un numero opportuno di armoniche. Si scriva la dipendenza della frequenza ω dall'ampiezza dell'oscillazione.

Esercizi di meccanica dei sistemi:

Esercizio 1
All'istante t=0 due particelle di massa M1 ed M2 si trovano, nel sistema di riferimento inerziale O, nelle posizioni P1=(0,0,0) e P2=(d,0,0), e si muovono di moto rettilineo uniforme con velocita` v1=v2=v₀j (i,j,k: versori dei tre assi cartesiani).
Determinare nel sistema di riferimento O:

• quantita' di moto del sistema,
• momento angolare del sistema,
• equazione del moto del centro di massa.

• momento angolare del sistema in O'.

• ricalcolare l'equazione del moto del centro di massa,
• scrivere l'energia cinetica del sistema in funzione di t.

Esercizio 2
Alice e Bob stanno facendo una romantica gita su un lago a bordo di una canoa del peso di 30 kg. Mentre la canoa e' ferma, i due si scambiano di posto. I posti originali distavano 3 m ed erano simmetrici rispetto al centro della canoa. Terminata l'operazione, Bob stima che la canoa si e' spostata di circa 40 cm rispetto a uno scoglio vicino. Bob pesa 80 kg. Alice ha sempre mentito sul proprio peso. E' in grado Bob di determinare il vero peso di Alice?

Esercizio 3
Una persona si trova sopra il ripiano di un carrello scorrevole su una superficie orizzontale liscia, e la sua massa e' il nono di quella del carrello. Inizialmente il sistema e' in quiete; a un certo istante la persona inizia a camminare sul carrello con accelerazione costante a=0.5 m/s², e percorso tutto il ripiano del carrello, lungo l=4 m, lo abbandona scendendo a terra. Si calcoli la velocita' acquistata dal carrello.

Esercizio 4
Due corpi celesti di massa m1 = 3 × 10³⁴ kg e m2 = 7 × 10³⁴ kg distanti d = 10⁸ m ruotano attorno al centro di massa con velocità angolare ω. Calcolare il valore di ω. Se una meteora passa per il centro di massa del sistema perpendicolarmente alla congiungente i centri dei due corpi, quale deve essere la minima velocità v0 perchè possa sfuggire al loro campo gravitazionale?

Esercizio 5
Un cannone e una riserva di palle di cannone sono posti all'interno di un vagone ferroviario ermeticamente chiuso di lunghezza L. Il cannone spara facendo rimbalzare le palle di cannone sulla parete interna del vagone. Dimostrare che, indipendentemente da come vengono sparate le palle da cannone, il vagone non puo' spostarsi di un tratto maggiore della sua lunghezza L, supponendo che parta da fermo.

Esercizio 6
Due masse m e M si trovano leggermente distanziate e in quiete. Contro di esse, lungo la congiungente tra le due masse, viene lanciata con velocita' v0 un terzo corpo, anch'esso di massa m. Supponendo tutti gli urti frontali ed elastici:

• Dimostrare che se M e' minore o uguale a m vi sono esattamente due urti, e calcolare tutte le velocita' finali.
• Dimostrare che se M>m vi sono tre urti, e calcolare tutte le velocita' finali.
• Se invece il corpo incidente ha massa m', trovare la relazione tra m, M ed m' che da' il massimo trasferimento di energia cinetica da m' agli altri due corpi.
• Cosa cambia se l'urto non e' del tutto elastico, o se e' completamente anelastico?

Alcuni siti web con esercizi facili per iniziare:
http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegneria/all/balbi/stuff/ingresso.html
http://www.mi.infn.it/~sleoni/TEACHING/FISICA-BIO/materiale-didattico_file/v3_slide0004.htm